Výpočet plochy obrazce

[Achab]

Pro zajímavost uvádím úkol který jsem dostal jako chyták v hospodě - zatím jsem se s řešením neprezentoval a protože jsem už pár let ze školy venku tak bych si rád ověřil jestli je řešení správné nebo zda lze použít jiné vzorce nebo je zjednodušit.

Popis:

S - celková plocha obrazce (žlutě)
s* - plocha kruhové úseče dané částí obvodu kružnice a tětivou sečny - úhlopříčkou "u" (8×)
u - úhlopříčka čtverce
r - poloměry kružnic se středem v polovinách stran čtverce
A - strany čtverce

Plocha kruhové výseče ¼ kružnice: π×r²/4
Plocha výseče od středu poloměru "r" po tětivu sečny: A²/8 = r²/2
Plocha kruhové úseče "s*"od tětivy po obvod kružnice: (π×r²/4) - (r²/2)
Celková plocha "S" obrazce:

S = (π×r²/4) – (r²/2)×8 ==> S = (π×r²/2 – r²)×4

Příklad pro A = 100cm (r = 50cm):

S = (π×50²/2 – 50²)×4 = (3,141×2500/2 – 2500)×4 = 5705 cm²

[Achab]

Pro zajímavost uvádím úkol který jsem dostal jako chyták v hospodě - zatím jsem se s řešením neprezentoval a protože jsem už pár let ze školy venku tak bych si rád ověřil jestli je řešení správné nebo zda lze použít jiné vzorce nebo je zjednodušit.

Popis:

S - celková plocha obrazce (žlutě)
s* - plocha kruhové úseče dané částí obvodu kružnice a tětivou sečny - úhlopříčkou "u" (8×)
u - úhlopříčka čtverce
r - poloměry kružnic se středem v polovinách stran čtverce
A - strany čtverce

Plocha kruhové výseče ¼ kružnice: π×r²/4
Plocha výseče od středu poloměru "r" po tětivu sečny: A²/8 = r²/2
Plocha kruhové úseče "s*"od tětivy po obvod kružnice: (π×r²/4) - (r²/2)
Celková plocha "S" obrazce:

S = (π×r²/4) – (r²/2)×8 ==> S = (π×r²/2 – r²)×4

Příklad pro A = 100cm (r = 50cm):

S = (π×50²/2 – 50²)×4 = (3,141×2500/2 – 2500)×4 = 5705 cm²

[serviceman]

Myslím, že je to správně.

[Zaky]

Na úkol v hospodě dobré Vaše skupinka asi maličko vybočuje z ±3σ

[Zaky]

Na úkol v hospodě dobré Vaše skupinka asi maličko vybočuje z ±3σ

[Bernard]

Chybí ti tam jedna závorka, ale počítáš to, jako by tam byla, takže: konec dobrý, všechno dobré.

S = ((π×r²/4) – (r²/2))×8

[Bernard]

Chybí ti tam jedna závorka, ale počítáš to, jako by tam byla, takže: konec dobrý, všechno dobré.

S = ((π×r²/4) – (r²/2))×8

[jirkati]

Mně vyšlo 5708, tak to máš dobře. Ten malý rozdíl je dán rozšířenou hodnotou π (pí) v kalkulačce.

[Achab]

[Achab]

[Bernard]

Ještě to jde zkrásnit:
S = A² (π/2 - 1);

[Bernard]

Ještě to jde zkrásnit:
S = A² (π/2 - 1);

[Achab]

No vida, takhle to zjednodušit mě nenapadlo... A výpočet sedí přesně.

[Achab]

No vida, takhle to zjednodušit mě nenapadlo... A výpočet sedí přesně.

[1N4148]

Nevím, jestli to Bernard odvodil přímo, nebo upravil z předcházejícího tvaru, ale přímo by se to dalo odvodit tak, že si spočítáte obsah půlkruhu mínus obsah rovnoramenného trojúhelníka o výšce r. Tato část se v obrazci opakuje 4x, takže vynásobíme čtyřma, na závěr můžeme převést r na A.

((∏ r²)/2 - r²) · 4 = r² (∏/2 - 1) · 4 = A² (∏/2 - 1)